Savo sportinės karjeros metais treneris Martynas Kūra šešis kartus tapo Lietuvos čempionu įvairaus amžiaus grupėse, 2001 m. Pasaulio jaunimo Lotynų Amerikos šokių čempionate iškovojo bronzos medalį, yra tapęs tarptautinių varžybų nugalėtoju ir finalininku.
Sportinių šokių trenerio darbo patirtis – 25 metai (Klaipėdos universitete įgyti Sportinių šokių trenerio bakalauro ir magistro bei Kūno kultūros pedagogikos magistro laipsniai). Martynas Kūra kartu su Ramune Kūriene yra išugdę daugkartinius jaunių pasaulio ir Europos čempionus, pasaulio vicečempionus, daugkartinius prestižinių tarptautinių varžybų nugalėtojus, prizininkus. Auklėtinių sąskaitose jau daugiau kaip 100 Lietuvos čempionatų ir pirmenybių nugalėtojų titulų.
Tarptautinės ir nacionalinės aukščiausios kategorijos teisėjas, vyriausiasis teisėjas, Tarptautinės sportinių šokių federacijos egzaminatorius, šokėjų profesionalų atestuotas vertintojas, nacionalinių varžybų techninis vertintojas.
Lietuvos sportinių šokių federacijos akademijos direktorius, atsakingas ir trenerių bei teisėjų kvalifikacijos kėlimą. Tarptautinės šokių trenerių asociacijos (Londonas, JK) bei Tarptautinės pramoginių šokių mokytojų asociacijos (Londonas, JK) narys.
Treniruoja vaikų, jaunučių, jaunių, jaunimo ir suaugusiųjų poras (Lotynų Amerikos šokiai, standartiniai šokiai). Sportinių šokių klube „Žingsnis“ veda grupines ir individualias pamokas, dirba stovyklose Lietuvoje ir užsienyje (Vokietija, Lenkija, Italija, Rumunija ir kitur). Veda pramoginių šokių kursus.